3ª sesión de Probabilidad: las Propiedades
Buenas y lluviosas mañanas. Hoy toca arremangarse un poco. Aún así, y antes de que os dejéis Bach, he consultado a "altas" instancias, y todo lo distéis el año pasado, así que Keep Calm.
Nos situamos en la página 251. Vamos a estudiar dos tipos de propiedades, Axiomas y Teoremas/Consecuencias, pero si no os queréis calentar la cabeza, les vamos a llamar propiedades a todas, sólo que unas son consecuencias de las otras. Yo os voy a marcar las más importantes y útiles, sin querer restar importancia a las demás.
En el contexto de un Espacio Aleatorio, con un Espacio Muestral E, y unos Sucesos A, B , los que sean, definimos:
P.1(Ax.1 en el libro).- P(A) mayor o igual que cero
Fácil de entender, la probabilidad siempre es positiva, un suceso no puede ocurrir un número negativo de veces
P.2 (Ax.3 del libro).- P(E)=1
También fácil, la probabilidad del Espacio Muestral, que incluye todos los resultados posibles, es 1. O si queréis, la probabilidad del Suceso Seguro es 1, o el 100%, si lo entendéis mejor así
Se deduce también , por tanto, que la probabilidad siempre estará entre 0 y 1, y esto es SUPERIMPORTANTE para próximos ejercicios. Es obvio, entre el 0% y el 100%.
P.3 (ax.2 del libro).- Si dos sucesos son incompatibles , P(AUB)=P(A)+P(B)
Si dos sucesos no pueden suceder a la vez, su intersección es vacía. Imaginad el caso del experimento sacar una carta de una baraja. A={ sacar espadas}, B={sacar oros}. Son sucesos incompatibles, y ambos con una probabilidad asociada de P(A)=P(B)=10/40. La probabilidad de sacar Espadas u Oros es 10/40+10/40=20/40 ( sii, ya sé que se puede simplificar, es para que lo veáis mejor jjj).
Esto tendrá una consecuencia muy importante en la siguiente propiedad, pues ahora mismo estaréis pensando, ¿y cómo sería si no?
Es interesante, tanto en el desarrollo de las sesiones como en los ejercicios que mandaré esta semana, el uso de Diagramas de Venn, o al más puro estilo CDR, los circulitos.
Nos situamos en la página 251. Vamos a estudiar dos tipos de propiedades, Axiomas y Teoremas/Consecuencias, pero si no os queréis calentar la cabeza, les vamos a llamar propiedades a todas, sólo que unas son consecuencias de las otras. Yo os voy a marcar las más importantes y útiles, sin querer restar importancia a las demás.
En el contexto de un Espacio Aleatorio, con un Espacio Muestral E, y unos Sucesos A, B , los que sean, definimos:
P.1(Ax.1 en el libro).- P(A) mayor o igual que cero
Fácil de entender, la probabilidad siempre es positiva, un suceso no puede ocurrir un número negativo de veces
P.2 (Ax.3 del libro).- P(E)=1
También fácil, la probabilidad del Espacio Muestral, que incluye todos los resultados posibles, es 1. O si queréis, la probabilidad del Suceso Seguro es 1, o el 100%, si lo entendéis mejor así
Se deduce también , por tanto, que la probabilidad siempre estará entre 0 y 1, y esto es SUPERIMPORTANTE para próximos ejercicios. Es obvio, entre el 0% y el 100%.
P.3 (ax.2 del libro).- Si dos sucesos son incompatibles , P(AUB)=P(A)+P(B)
Si dos sucesos no pueden suceder a la vez, su intersección es vacía. Imaginad el caso del experimento sacar una carta de una baraja. A={ sacar espadas}, B={sacar oros}. Son sucesos incompatibles, y ambos con una probabilidad asociada de P(A)=P(B)=10/40. La probabilidad de sacar Espadas u Oros es 10/40+10/40=20/40 ( sii, ya sé que se puede simplificar, es para que lo veáis mejor jjj).
Esto tendrá una consecuencia muy importante en la siguiente propiedad, pues ahora mismo estaréis pensando, ¿y cómo sería si no?
Es interesante, tanto en el desarrollo de las sesiones como en los ejercicios que mandaré esta semana, el uso de Diagramas de Venn, o al más puro estilo CDR, los circulitos.
P.4 (T.6 del libro) Si los sucesos no son incompatibles( pueden ocurrir a la vez), entonces el cálculo de la probabilidad de la Unión varía: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
Primero lo entendemos y luego un ejemplo. Si me fijo en los diagramas arriba expuestos, si yo quiero calcular la probabilidad de la Unión, sumaría la Bola Azul y la Bola Roja, (es decir, P(A)+P(B)), Pero claro, entonces habría sumado dos veces la parte verde, y por tanto he de restarle una, que es lo que hago al final de la fórmula.
A ver con un ejemplo, en el mismo ejemplo de antes, voy a considerar el suceso A= {sacar sota}, y B={sacar oros}. AUB es sacar sota u oros. Son sucesos compatibles, porque pueden suceder a la vez, si yo saco la sota de oros.
Vamos a calcular probabilidades. P(A)= 4/40 (hay 4 sotas en la baraja). P(B)=10/40. Pero si yo sumase y prou, estaría contando dos vecs la sota de oros. Como la probabilidad de la Intersección es 1/40 ( sólo hay una carta que sea sota y oros a la vez, la sota de oros) entonces :
P(AUB)=P(Sacar sota u oros)= 4/40+10/40-1/40=13/40
Si tenéis la paciencia o el aburrrimiento de escribiros las 40 cartas y pensar en cuales son sota u oros, veréis que son 13. Esta propiedad nos evita andar contando cartitas.
P.5.(T.1, en el libro)- P(A')=1-P(A).
Vamos a lo fácil, la probabilidad del suceso contrario es 1 - P(suceso). Si la probabilidad de sacar bastos es 10/40 (0'25,25%), la de no sacar bastos,(es decir, espadas, oros o copas) es 30/40(0'75,75%)
P.6(T.2 en el libro).- P(Ø)=0
Consecuencia de P.2, la probabilidad del suceso imposible es 0.
Y hasta aquí llega la sesión. Si hace falta, volvedla a leer. Os voy a dejar un par de vídeos y unos ejercicios resueltos, para que los miréis. Me pasáis todas las dudas, y dada la importancia, pasadme una foto para que os corrija los errores puntuales. La solución la colgaré mañana a la noche, para el jueves abordar los primeros problemas tipo PAU.
Ejercicios resueltos: El 1 de la página 251. ojo al punto 3, es la propiedad 4 pero despeja antes sobre la fórmula. En el punto 4, usa deMorgan. Siempre que veáis el contrario de la Unión ( o intersección) o el contrario de la Intersección, o las Uniones/intersecciones de contrarios, pensad en DeMorgan
También tenéis , parecido el 2 de la página 262.
Ejercicios propuestos: Ejercicios 2 y 3 de la página 251, el Hazlo tú, de la 262 y el 7, 8 y 9 de http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/secundaria/Cuarto/11_Probabilidad/teoria_con_ejemplos_y_ejercicios.pdf. También podéis añadir la 18,19 de http://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/BS2%2008%20Probabilidad.pdf
Daros caña, son 8 problemas, pero bastante rápidos. mañana por la tarde-noche os colgaré las soluciones, pero preferiría que me las mandaseis antes. Quisiera por favor que no os desconectéis, ya no sois tantos los que estáis manteniendo la entrega de ejercicios, por favor, recordádselo a vuestros compañeros.
Vídeos propuestos:
Mucha fuerza y ánimo, muy recomendable ver los vídeos
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